загляните на купон-скидку или справочники: окна kbe, окна veka, окна rehau, остекление балкона, остекление лоджии, изготовление окон, монтаж окон, остекление, производство окон, металлопластиковые окна, окна пвх, пластиковые окна, установка окон, стеклопакеты и евроокна.

ВСЁ О СТРОИТЕЛЬСТВЕ, ЖЕЛЕЗОБЕТОНЕ, БЕТОНЕ, АРХИТЕКТУРЕ И НЕ ТОЛЬКО...:
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

АСФАЛЬТИРОВАНИЕ, устройство асфальтобетонных покрытий на автомобильных дорогах, улицах, аэродромах и т. п. путём укладки и уплотнения асфальтобетонной смеси по предварительно подготовленному основанию. В зависимости от назначения покрытия асфальтобетонную смесь (асфальтобетон) укладывают в один или два слоя на основание из щебня, гравия (нежёсткое основание) или бетона (жёсткое основание). Нижний слой толщиной 4-5 см устраивают из крупно- или среднезерни-стой смеси с остаточной пористостью 5-10% ; верхний слой толщиной 3-4 см-из средне- или мелкозернистой смеси (остаточная пористость 3-5%). При тяжёлых нагрузках и интенсивном движении транспорта покрытия устраивают 3-4-слойными общей толщиной 12-15 см. АСФАЛЬТИРОВАНИЕ начинается с очистки основания от пыли и грязи механич. дорожными щётками и поливомоечными машинами, исправления неровностей основания, обработки его поверхности жидким битумом или битумной эмульсией. Асфальтобетонная смесь приготовляется в асфальтобетоно-смесителях на стационарных или полустационарных заводах (установках), доставляется на место автомобилями-самосвалами и загружается в приёмный бункер асфалътобетоноукладчика, к-рый укладывает, разравнивает и предварительно уплотняет смесь. Окончат. уплотнение осуществляется катками дорожными. .
КОММУНАЛЬНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО, отрасль строительства, занятая сооружением объектов, связанных с обслуживанием жителей городов, посёлков городского типа, районных сельских центров и населённых пунктов сельской местности. В числе этих объектов: системы водоснабжения и канализации с очистными сооружениями и сетями; сооружения городского электрического транспорта с путевым, энергетическим хозяйством, депо и ремонтными предприятиями; сети газоснабжения и теплоснабжения с распределительными пунктами, районными и квартальными котельными; электрические сети и устройства напряжением ниже 35 кв; гостиницы; городские гидротехнические сооружения; объекты внешнего благоустройства населённых мест, озеленения, дороги, мосты, путепроводы, ливнестоки; предприятия санитарной очистки, мусороперерабатывающие и др. Планомерное развитие КОММУНАЛЬНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА в СССР началось ещё в 1-й пятилетке и осуществлялось нарастающими темпами до начала Великой Отечеств, войны 1941-45. В годы 4-й пятилетки (1946-50) проводились работы по восстановлению объектов коммунального назначения, разрушенных во время нем.-фаш. оккупации. В последующие годы КОММУНАЛЬНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО велось высокими темпами в связи с бурным развитием промышленности, культуры, увеличением численности городов и посёлков городского типа .
ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО, теория и практика планировки и застройки городов (см. Город). ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО определяют социальный строй, уровень развития производственных сил, науки и культуры, природно-климатичие условия и национальные особенности страны. ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО охватывает сложный комплекс социально-экономических, строительно-технических, архитектурно-художественных, а также санитарно-гигиенических проблем. Общим для ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО досоциалистических формаций является большее или меньшее влияние на него частной собственности на землю и недвижимое имущество..
ЗЕЛЁНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО, составная часть современного градостроительства. Городские парки, сады, скверы, бульвары, загородные парки (лесопарки, лугопарки, гидропарки, исторические, этнографические, мемориальные), национальные парки, народные парки, тесно связанные с планировочной структурой города, являются необходимым элементом общегородского ландшафта. Они способствуют образованию благоприятной в санитарно-гигиеническом отношении среды, частично определяют функциональную организацию городских территорий, служат местами массового отдыха трудящихся и содействуют художественной выразительности архитектурых ансамблей. При разработке проектов садов и парков учитывают динамику роста деревьев, состояние и расцветку их крон в зависимости от времени года.

Главная страница
Поиск по сайту
Оглавление страниц
Объяснение слов: словарь, справочник, информация. Строительство, экономика, промышленность - все сферы жизни: от А до Г, от Г до П и от П до Я

лёнки.

Вторая основная квадратичная форма поверхности представляет собой выражение Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, в котором L = ruun, М = ruun, N = rvvп (п - единичный вектор нормали к S в точке М). С помощью второй формы можно получить представление о пространственной форме поверхности. Напр., кривизны 1/К нормальных сечений поверхности в данной точке М (т. е. линий пересечения S с плоскостями, проходящими через нормаль в М) вычисляются по формуле
[823-38.jpg]

Две основные формы поверхности, заданные в к.-л. внутр. координатах, определяют поверхность с точностью до положения в пространстве. Если заданы две формы
[823-39.jpg]

первая из к-рых положительная, а коэфф. L, M и N второй удовлетворяют нек-рой системе уравнений, из к-рых одно (полученное К. Гауссом) алгебраическое, а два других (полученные К. М. Петерсоном)-линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка, то найдётся поверхность, для к-рой эти формы являются соответственно первой и второй основными формами.

Отмеченные уравнения Гаусса - Пе-терсона играют фундаментальную роль в теории поверхностей.

Подробнее о поверхностях см. Поверхностей теория.

Одним из объектов исследований в Д.г. являются семейства кривых и поверхностей. Такие семейства задаются посредством уравнений, содержащих параметры. Напр., ур-ние (х - а)2 + у2 = 1, содержащее параметр а, определяет семейство окружностей радиуса 1 с центрами в точках (а, 0), т. е. на оси Оx (рис. 12).

[823-40.jpg]

Рис. 12.

С семейством кривых (поверхностей) связано понятие огибающей - такой кривой (поверхности), к-рая касается всех кривых (поверхностей) семейства. В рассмотренном выше примере огибающей будет пара параллельных оси Ох прямых, отстоящих от неё на расстоянии 1. Особенно детально в Д. г. исследованы двупараметрич. семейства прямых b в пространстве, называемые конгруэнция м и. Простейший пример конгруэнции - семейство параллельных прямых в пространстве. Истоком теории конгруэнции является геометрическая оптика.

Различные разделы Д. г. посвящены изучению во всевозможных аспектах т. н. дифференциально-геометрических многообразий. Примерами таких многообразий могут служить кривые (одномерные многообразия), поверхности (двумерные многообразия), обычное евклидово пространство (трёхмерное многообразие). Более сложным примером может служить четырёхмерное многообразие, элементами к-рого являются прямые обычного "евклидова пространства (прямая в декартовых координатах определяется ур-ниями вида z = ах + b, z ~ су + d, числа а, b, с, d можно рассматривать как координаты этой прямой).

Изучение дифференциально-геометрич. многообразий ведётся по след. основным направлениям. 1) Геометрия транзитивной группы отображений многообразия на себя, или геометрия "локальной группы" отображений. В тематику этих вопросов входят обычная классич. локальная Д. г. (изучение инвариантов группы движений евклидова пространства), аффинная, проективная и конформная геометрии (изучение инвариантов соответствующей группы преобразований). 2) Геометрия многообразий с римановой метрикой (рима-новых пространств), представляющая собой обобщение на многомерный случай внутренней геометрии поверхностей, к-рое можно рассматривать как двумерные римановы пространства. Геометрия римановых пространств играет важную роль в теории относительности. 3) Геометрия т. н, финслеровых пространств, являющихся обобщением римановых пространств. 4) Геометрия многообразий со связностью, т. е. многообразий, в к-рых указан способ, с помощью к-рого можно сравнивать геометрии, образы, расположенные в касательных пространствах в разных точках.

Возникновение Д. г. связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Ими к концу 18 в. были получены важные факты теории поверхностей. Значит, вклад в развитие Д. г. сделан в нач. 19 в. К .Гауссом, к-рый ввёл обе основные квадратичные формы. Им же была доказана теорема об инвариантности полной кривизны относительно изометрич. преобразований, фактически им были заложены основы внутр. геометрии поверхностей. Построение основ классич. теории поверхностей было завершено в сер. 19 в. основателем моек, геометрич. школы К. М. Петерсоном. В сер. и во 2-й пол. 19 в. много глубоких и общих результатов по классич. теории поверхностей было получено Ф. Миндин-гом, Ж. Лиувиллем, Э. Бельтрами, Ж. Г. Дарбу, Л. Бианки. Ряд замечат. результатов по классич. Д. г. был получен рус. учёными Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, С. П. Финиковым и др.

Развитие др. направлений в Д. г. связано с именами Б.Римана, Г. Ламе, Ф. Клейна, Г. Вейля, Э. Картона.

В СССР разрабатывались различные направления Д. г.; наибольшие успехи относятся к области проблем "в целом" (А. Д. Александров, А.В. Погорелое и др.).

Лит.: Монж Г., Приложение анализа к геометрии, пер. с франц., М.- Л., 1936; Стройк Д. Д ж., Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия, пер. с англ., М. -Л., 1941; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М., 1950; Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М., 1964; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; Погорелов А. В..Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969.

Э. Г. Лозняк.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ, отрасль психологии, изучающая индивидуальные различия между людьми. Предпосылкой возникновения Д. п. на рубеже 19 и 20 вв. явилось введение в психологию эксперимента, а также гене-тич. и математич. методов. Пионером разработки Д. п. был Ф. Гальтон (Великобритания), к-рый изобрёл ряд приёмов и приборов для изучения индивидуальных различий. В. Штерн (Германия) ввёл самый термин "Д. п." (1900). Первыми крупными представителями Д. п. были А. Бине (Франция), А. Ф. Лазурский (Россия), Дж. Кеттел (США) и др.

В Д. п. широко применяются тесты -как индивидуальные, так и групповые; они используются для определения умственных различий, а с изобретением т. н. проективных тестов - для определения интересов, установок, эмоциональных реакций. С помощью тестов методами факторного анализа выявляются факторы, характеризующие общие свойства (параметры, измерения) интеллекта или личности. На этом основании определяются количеств, вариации в психология, свойствах отд. индивидов.

Вопрос о причинах психологич. различий явился предметом острейших дискуссий на протяжении всей истории Д. п. и прежде всего - проблема соотношения биол. и социально-культурных факторов в формировании индивидуальных особенностей человека. В 50-60-х гг. 20 в. для Д. п. характерно интенсивное развитие новых подходов и методов - как экспериментальных, так и математических. Совершенствуется техника статис-тич. анализа тестов (Дж. Гилфорд, США; Р. Кеттел, Великобритания), изучается роль ценностной ориентации личности, детально выявляются психологич. аспекты возрастных и половых различий.

Наряду с различиями между индивидами в умств. отношении широко исследуются различия в творч. и организаторских способностях, общей структуре личности, сфере мотивации. Изучаются корреляции между психологич. свойствами, с одной стороны, и физиологическими - с другой (У. Шелдон, Г. Айзенк -Великобритания). В СССР работа в этом направлении ведётся в ряде лабораторий - в Ин-те психологии АПН СССР (исследования, проводившиеся Б. М. Тепловым и его сотрудниками на основе учения И. П. Павлова о типах высшей нервной деятельности), Ленингр. и Пермском ун-тах и др.

Факты и выводы Д. п. важны для решения мн. практич. задач (отбор и обучение персонала, диагностика и прогностика развития отд. свойств, склонностей, способностей индивидов и др.).

Лит.: Теплое Б. М., Проблемы индивидуальных различий, М., 1961; Р i ё-гоп Н., La psychologic differentielle, 2 ed., P., 1962; Anastasi A., Differential psychology, 3 ed., N.Y., 1958. М. Г. Ярошевский.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ РЕНТА, При капитализме добавочная прибыль, возникающая в результате затрат труда на средних и лучших земельных участках или при повышающейся производительности добавочных вложений капитала, присваивается собственником земли; одна из форм земельной ренты, к-рая порождается монополией на землю как объект капиталистич. х-ва. Источник её - излишек прибавочной стоимости, создаваемой трудом с.-х. наёмных рабочих над средней прибылью, возникающий вследствие более высокой производительности труда на относительно лучших земельных участках (более плодородных или ближе расположенных к месту сбыта либо таких, в к-рые вложен дополнит, капитал). Различают Д. р. I и Д. р. И. Д. р. I связана с различиями в плодородии и местоположении зем. участков. Индивидуальная цена производства единицы земледельч. продукта с лучших участков оказывается более низкой, т. к. труд, приложенный к более плодородной почве, при прочих равных условиях более производителен или расходы по доставке на рынок с.-х. товаров с ближе расположенных к нему зем. участков ниже, чем с более отдалённых. Реализуются же с.-х. товары по общественной цене произ-ва, к-рая в с. х-ве выражает общественную стоимость этих товаров и определяется условиями произ-ва на худших зем. участках. Это обусловливается тем, что количество земли ограничено, а с.-х. продуктов, производимых только на относительно лучших участках, недостаточно для покрытия общественного спроса на них, рынок предъявляет спрос также на продукты, производимые на средних и худших участках. Капиталистич. фермеры, ведущие х-во на лучших и средних землях, реализуя продукцию по рыночным ценам, получают добавочную прибыль, к-рая в форме Д. р. на основе права собственности на землю присваивается землевладельцем (независимо от того, является им частное лицо или капиталистич. гос-во). Д. р. I исторически возникла раньше Д. р. II, растёт с развитием экстенсивного земледелия, а также по мере развития сети путей сообщения и пром. центров.

Д. р. II представляет собой добавочную прибыль, возникающую в результате последовательных вложений капитала в землю. Она неразрывно связана с интенсификацией с. х-ва, является её важнейшим экономия, результатом. Повышение массы и нормы Д. р. II выражает рост производительности добавочных вложений капитала, тенденция к к рому, вопреки т. н. закону убывающего плодородия почвы (см. "Убывающего плодородия почвы закон"), в условиях научно-технич. прогресса становится главной и определяющей. Получаемая в результате добавочных вложений капитала сверхприбыль до окончания арендного договора достаётся фермеру-арендатору. Но при заключении нового арендного договора землевладелец, в силу господства монополии частной собственности на землю, присваивает себе эту добавочную прибыль путём повышения арендной платы, т. е. получает часть Д. р. II. Это является основой борьбы капиталистов-арендаторов с землевладельцами за сроки аренды земли.

Д. р. и рентные отношения сохраняются и при социализме. Материальную основу Д. р. составляет дополнит, чистый доход, образующийся на относительно лучших и удобно расположенных землях или при повышающейся производительности добавочных вложений. Наличие при социализме товарно-ден. отношений и монопольное пользование землёй как объектом х-ва обусловливают превращение этого дохода в Д. р. и ведут к возникновению рентных отношений. Однако соци-ально-экономич. содержание Д. р. в условиях господства социалистич. собственности на средства произ-ва коренным образом меняется. Социалистич. строй устраняет социально-классовые антагонизмы в рентных отношениях, неизбежные между собственником земли, капиталистом-предпринимателем и наёмным рабочим в условиях капиталистич. способа произ-ва.

Источником Д. р. I является дополнит. чистый доход, получаемый в результате более высокой производительности труда на лучших по плодородию и местоположению зем. участках. Т. к. для удовлетворения общественного спроса приходится вовлекать в с.-х. оборот и относительно худшие земли, плановое ценообразование необходимо осуществлять с учётом возмещения затрат и получения необходимой прибыли х-вами, располагающими такими землями, иначе будут подорваны хозрасчётные стимулы их возделывания. Колхозы и совхозы, использующие средние и лучшие земли, получают дополнит. доход в виде разницы между общественной ценой и индивидуальной стоимостью единицы продукта. А т. к. образование этого дохода обусловлено не трудовыми усилиями отд. коллективов, а общественными факторами воспроизводства, то на основе права обще-нар. собственности на землю он изымается гос-вом в форме Д. р. I. При этом совершенно снимается антагонистич. характер изъятия, поскольку Д. р. I не становится достоянием класса зем. собственников, а поступает в общенар. фонд и используется в интересах всего общества, в т. ч. для планомерного подъёма с. х-ва. Д. р. I изымается гос-вом через закупочные цены, дифференциацию планов закупок и подоходный налог.

Д. р. II возникает в результате различной производительности добавочных вложений: её масса и норма планомерно возрастают в условиях интенсификации, науч.-технич. прогресса в с.-х. произ-ве; она почти полностью остаётся у с.-х. предприятий.

Сложившиеся в социалистич. странах различные отношения зем. собственности обусловливают и разные конкретные формы распределения Д. р. Однако сущность рентных отношений и общие принципы распределения Д. р. остаются едиными независимо от того, вся земля национализирована или часть её находится в собственности кооперативов. В правильном экономич. регулировании рентных отношений при социализме важное значение имеет эффективное применение механизма распределения Д. р., прежде всего научно обоснованное ценообразование, учитывающее специфику с. х-ва.

Д. р. существует не только в с. х-ве, но и в добывающей пром-сти, строительстве, образуется в результате различий в производительности труда, обусловленных неравенством естественных условий разработки и использования полезных ископаемых, лесных угодий и т. д. При социализме Д. р. в добывающей пром-сти принадлежит всему обществу и используется в его интересах, в т. ч. для развития угольной, рудной и др. отраслей. Как стоимостная категория Д. р. перестанет существовать с отмиранием товарного произ-ва.

Лит. см. при ст. Земельная рента.

И. Н. Буздалов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ, специальные смеси питат. веществ (см. Питательные среды), на к-рых выращивают микроорганизмы для определения их видовой принадлежности. К Д.-д. с. относятся белковые среды, применяемые для определения гемо-литич. и протеолитич. способности микробов; среды, содержащие углеводы и индикаторы изменения кислотности (в результате утилизации микробами этих соединений); среды, содержащие вещества, служащие источником питания только для определ. видов бактерий, и др.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в к-ром изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную матем. дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали осн. положения Д. я. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с к-рым оно составляет осн. часть матем. анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда матем. дисциплин: теорий рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы матем. анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. "Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только с о-стояния, но и процессы: движение" (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).

Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование к-рых составляют предмет введения в матем. анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили совр. содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Осн. идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение к-рых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них -определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является матем. выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из осн. понятий совр. нелинейного функционального анализа.

Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за нек-рый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s= gt2/2, где s -пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения (в секундах), g - постоянная величина, ускорение свободного падения, g 9,81 м/сек2. За первую секунду падения тело пройдёт ок. 4,9 м, за вторую - ок. 14,7 м, а за десятую - ок. 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за нек-рый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Дt равна
[824-1.jpg]

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Дt приближается к величине gt, к-рую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в к.-л. момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + At и закона движения, выражаемого формулой s = f(t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t aot + At даётся формулой Дs/Дt, где Дs = - f(t + Дt) - f(t), а скорость движения в момент времени t равна

[824-2.jpg]

Осн. преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (f,t + Дt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

К выражению типа () приводит и задача (см. рис.) построения касательной к плоской кривой в нек-рой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f(x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла а, образованного касательной с осью Ох. Обозначим через х<, абсциссу точки М, а через х1= ха + Дх - абсциссу точки M1. Угловой коэффициент секущей MM1равен
[824-3.jpg]

[824-4.jpg]

где Ду = М1N = f(x0 + Дх) - f(x0) -приращение функции на отрезке [х0,х1]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM1, когда х1 стремится к х0, получаем
[824-5.jpg]

Отвлекаясь от механич. или геом.содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f(x) в точке х наз. предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что
[824-6.jpg]

С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Напр., сила тока

[824-7.jpg]

менение количества вещества за время Д?; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физ. величинам.

Производную функции у = f (х) обозначают f'(х), у', dy/dx, df/dx или Df (x). Если функция y = f(x) имеет в точке х0 производную, то она определена как в самой точке Ха, так и в нек-рой окрестности этой точки и непрерывна в точке ха. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Напр., непрерывная в каждой точке функция у =|х| = + КОРЕНЬ(х2), графиком к-рой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т. к. отношение Дy//Дx не имеет предела при Дх->0: если Дх> 0, это отношение равно + 1, а если Дx<0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.
[824-8.jpg]

Здесь С, п и а - постоянные, я>0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

Если производная f'(x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f(x) и обозначают

у", f"(x), d2y/dx2, d2f/dx2 или D2f(x). Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

Аналогично определяются и производные.более высокого (целого) порядка. Производная порядка п обозначается уn, fn(x), dny/dxn, dnf/dxnили Dnf(x).

Дифференциал. Функция у = f(x), область определения к-рой содержит нек-рую окрестность точки х0, наз. дифференцируемой в точке х0, если её приращение
[824-9.jpg]

где А=А(х0), а= a(x,х0)->0 при х->хо. В этом и только в этом случае выражение АДх наз. дифференциалом функции f(x) в точке ха и обозначается dy или df(xo). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении -г0 и меняющемся приращении Дх) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х0, так и от приращения Дх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х0, dy есть линейная функция от Дх; и разность Дy - dy есть бесконечно малая относительно Дх. Для функции f(x) = х имеем dx = Дх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного п е-ременного y= f(x) имела в точке х0дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f'(х0), и справедливо равенство dy = f (х0)dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y - f(x) в точке с абсциссой х0 как предельное положение секущей является также такой прямой, к-рая в бесконечно малой окрестности точки х0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х0) = f'(xa), запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f'(х0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f'(х0)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, напр., надо вычислить значение функции f(x) в точке х, если известны f(xo) и f'(xo). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство f(x1)f(х0)+df(х0)=f(х0)+f'(х0)+(х1-х0)

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.
[824-10.jpg]

Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f(a) - f(b) = f'(c) (b-а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т. д. Напр., условие f'(x)>0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f(x), а условие f"(x) >0 -её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f'(x) = 0.

Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида О/С и БЕСКОНЕЧНОСТЬ/БЕСКОНЕЧНОСТЬ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т. к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х,у) частной производной по х наз. производная этой функции по .г при постоянном у. Эта частная производная обозначается z'x, f'x(x,y), dz/dx или df(x,y)/dx, так что
[824-11.jpg]

Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина

Дz = f(x + Дx,y + Дy) - f(x,y) наз. полным приращением функции z= f(x,y). Если его можно представить в виде
[824-12.jpg]

где а - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х,у) и (x + Дx,у + Дy), то говорят, что функция z=f(x,y) дифференцируема. Слагаемые АДх + ВДу образуют полный дифференциал dz функции z = f(x,y), причём А = z'x, B = z'y. Вместо Д.Т и Ду обычно пишут dx и dy, так что
[824-13.jpg]

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные d2f/dx2 и d2f/dy2, в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чисты-

ми, а частные производные d2f/dxdy и d2f/dydx - смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Напр., были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и нек-рым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.

Эпохой создания Д. и. как самостоят, раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математич. аппарата - при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Ок. 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Осн. задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость -флюкcиеq. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.

В сер. 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Осн. понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла ИНТЕГРАЛ (ydx), ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин "дифференциальное исчисление". Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитич. дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул в качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина -"производная" и обозначения у' или f'(x). В нач. 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено гл. обр. благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в кон. 19 -нач. 20 вв.

Лит.: История-Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строик Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.- В., 1901-24.

Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.- Л., 1937; Леибниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Л'Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М.-Л-, 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М.- Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по Д. и. Xинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его ж е, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М.- Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. -М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

Под редакцией С. Б. Стечкина.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, связывающие аргумент, искомую функцию, её производные и приращения (раз:п-сти). Напр., у' = kДy, где у = у(х), Дy = y(x + h) - у(х). Подстановка последнего выражения в исходное уравнение показывает, что Д.-р.у. - это частный случай дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, поэтому Д.-р. у. изучаются в рамках этого более широкого класса уравнений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ, раздел матем. теории управления, в к-ром изучается управление объектом в конфликтных ситуациях (см. Игр теория). В Д. и. возможности игроков описываются дифференциальными уравнениями, содержащими управляющие векторы, к-рыми распоряжаются игроки. Для выбора своего управления каждый игрок может использовать лишь текущую информацию о поведении игроков. Различают Д. и. двух игроков и многих игроков. Наиболее исследованными являются Д. и. преследования, в к-рых количество игроков .равно 2, одного называют догоняющим, другого убегающим. Цель догоняющего - приведение вектора z(t) на заданное множество М за возможно короткое время; цель убегающего - по возможности оттянуть момент прихода вектора z(t) на М. Основополагающие результаты в Д. и. получены в 60-е гг. 20 в. в СССР Л. С. Понтрягиным, Н. Н. Красовским, Е. Ф. Мищенко, Б. Н. Пшеничным и др., в США -Р. Айзексом, Л. Берковицем, У. Флемингом и др. М. С. Никольский.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПOШЛИНЫ, см. Пошлины дифференциальные.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ, определённые свойства языковых единиц, противопоставляющие эти единицы другим единицам того же уровня, к-рые либо не обладают данными свойствами, либо обладают противопоставленными им свойствами. Напр., рус. звук "ль" противопоставлен звуку "л" по па-латализованности (наличие - отсутствие свойства), словоформа чстол" - словоформе "столы" по числу (ед. число и мн. число), значение слова "человек" - значению слова "камень" по одушевлённости (одушевлённое - неодушевлённое). Понятие Д. п. более всего разработано в фонологии, где оно является основополагающим. Различаются релевантные и нерелевантные (ирреле-вантные) признаки. Данный Д. п. является релевантным для данной фоно-логич. системы, если по этому Д. п. противопоставляются к.-л. фонемы данного языка (так, признак "звонкости -глухости" согласных релевантен для рус., нем., франц., англ. и нек-рых других языков). Однако и релевантный Д. п. может оказаться нерелевантным при нек-рых условиях, напр. если он обусловлен позицией звука (глухость согласных на конце слов в рус. языках нерелевантна) или особенностями фонологич. системы.

Амер. учёные Р. Якобсон, Г. Фант, М. Халле предложили список из 12 универсальных двоичных акустич. Д. п., достаточный, по их мнению, для исчерпывающего описания фонологич. системы любого языка. Понятие Д. п. используется и на других уровнях языковой структуры и является одним из осн. понятий совр. лингвистики.

Лит.: ТрубецкойН.С., Основы фонологии, пер. с нем., М., 1960; Блумфилд Л., Язык, пер. с англ., М., 1968; Jakоbsоn R., Fant С. G. М., Halle M., Preliminaries to speech analysis, Camb., 19Г5 (рус. пер. 2 части - в кн.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962); Jakobson R., Halle M., Fundamentals of language, VGravenhage, 1956. В. В. Раскин.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в кон. 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонауч. дисциплин, по существу одновременно с интегральным, исчислением и дифференциальным исчислением.

Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница, термин "Д. у." принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. Флюксий исчисление) ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному ур-нию, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С совр. точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ матем. естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у.

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.

1) Если тело, нагретое до темп-ры Т, помещено в среду, темп-pa к-рой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение ДГ (отрицательное в случае T>0) его темп-ры за малый промежуток времени Дt с достаточной точностью выражается формулой ДT= -kTДt,
где k - постоянный коэффициент. При матем. обработке этой физ. задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами dT=-kTdt, (1) т. е. имеет место Д. у. T'=-kT, где Т' обозначает производную по t. Решить полученное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для ур-ния (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид T = Ce-kt, (2) где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С наз. общим решением ур-ния (1).

2) Пусть, напр., груз р массы т подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят груз в движение.
[824-14.jpg]

Рис. 1.

Если x(t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x"(t). Сила mx"(t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x(t). Т. о., получается Д. у. mx"(t)=-kx(t). (3) Его решение имеет вид:
[824-15.jpg]

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 1, в).

Теория Д. у. выделилась в самостоятельную детально разработанную науч. дисциплину в 18 в. (труды Д. Бер-нулли, Ж. Д'Аламбера и особенно Л. Эйлера).

Д. у. делятся на "обыкновенные", содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и -"уравнения с частными производными", содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. наз. наибольший порядок входящих в него производных. Так,
[824-16.jpg]
с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) наз. соотношение F(x, у, у') = О (А) между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной . Если ур-ние (А) может быть разрешено относительно производной, то получается ур-ние вида у'=f(x, у)- (Б) Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной ур-ний, предполагая функцию f(x,y) однозначной.

Ур-ние (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами f(x, y)dx-dy = 0, тогда оно становится частным случаем ур-ний вида

Р (х, y)dx + Q (х,у) dy = 0. (В) В ур-ниях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у(х) есть решение ур-ния (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у(х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х,у) угловой коэффициент k = f(x,y). Т. о., нахождение решений у = у(х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке нек-рой области на плоскости задано "направление", требуется найти все кривые, к-рые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f(x,y) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для
[824-17.jpg]

Рис. 2.

уравнения у' = у2. Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения - т. н. интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее ре-
[824-18.jpg]

На рис. 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

График любой однозначной функции у = у(х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу, только один раз. Таковы, следовательно, интегральные кривые любого ур-ния (Б) с однозначной непрерывной функцией в правой части. Новые возможности для вида интегпаль-ных кривых открываются при переходе к ур-ниям (В). При помощи пары непрерывных функций Р(х, у) и О (х, у) можно задать любое непрерывное "поле направлений". Задача интегрирования ур-ний (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, что тем точкам (x0, уо), в к-рых обе функции Р (х, у) и Q (х, у) обращаются в нуль, не соответствует к.-л. определённое направление. Такие точки наз. особыми точками уравнения (В).

Пусть, напр., задано уравнение ydx + xdy = 0, к-рoe можно записать в виде
[824-19.jpg]

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл при х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство интегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х2 + у2 = С, изображены на рис. 3.

[824-20.jpg]

Рис. 3. Рис. 4.

Начало координат (х = 0, у = 0) - особая точка данного уравнения. Интегральными кривыми уравнения ydx - xdy = 0, изображёнными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные лучи, выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой и этого ур-ния.

Начальные условия. Геом. интерпретация Д. у. 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутр. точку М области G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну вполне определённую интегральную кривую.

В отношении существования интегральной кривой сформулированная гипотеза оказывается правильной. Доказательство этого предложения принадлежит Дж. Пеано. В отношении же единственности интегральной кривой, проходящей через заданную точку, высказанная выше гипотеза оказывается, вообще говоря, ошибочной. Уже для такого простого ур-ния, как
[824-21.jpg]

у к-рого правая часть непрерывна во всей плоскости, интегральные кривые имеют вид, изображённый на рис. 5. Единственность интегральной кривой, проходящей через заданную точку, нарушается здесь во всех точках оси Ох.
[824-22.jpg]

Рис. 5.

Единственность, т. е. однозначное определение интегральной кривой условием её прохождения через заданную точку, имеет место для ур-ний (Б) с непрерывной правой частью при том дополнительном условии, что функция f (x,y) имеет в рассматриваемой области ограниченную производную по у.

Это требование является частным случаем следующего, несколько более широкого условия Липшица: существует такая постоянная L, что в рассматриваемой области всегда |f(x, у1)-f(x, у2)|
С аналитич. стороны теоремы существования и единственности для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены надлежащие условия [напр., функция f (x, у) непрерывна и имеет ограниченную производную по у], то задание для "начального" значения Хо независимого переменного х "начального" значения у0 = у (х0) функции у(х) выделяет из семейства всех решений у(х) одно определённое решение. Напр., если для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t0 = 0 темп-pa тела была равна "начальному" значению Т0, то из бесконечного семейства решений (2) выделится одно определённое решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: T(t) = T0e-kT.

Этот пример типичен: в механике и физике Д. у. обычно определяют общие законы течения к.-л. явления; однако, чтобы получить из этих законов определённые количеств, результаты, надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физ. системы в нек-рый определённый выбранный в качестве "начального" момент времени t0.

Если условия единственности выполнены, то решение у(х), удовлетворяющее условию у(х0) = y0, можно записать в виде:
y(x) = ф(x; х0, y0), (5)

где х0 и y0 входят как параметры, функция же ф (х; х0, y0) трёх переменных х, х0 и y0 однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Д. у.) функция Ф (х; х0, y0) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х - имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Если правая часть f(x, у) Д. у. непрерывна и её производная по у ограничена (или удовлетворяет условию Липшица), то имеет место также непрерывность ф (х; xо, у0) по х0 y0.

Если в окрестности точки (ха, у0) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (х0, у0), пересекают вертикальную прямую х = х0 и определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С: y(x) = F(x,C), к-рое является общим решением Д- у. (Б).

[824-23.jpg]

Рис. 6.

В окрестности точек, в к-рых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых "в целом", а не в окрестности точки (х0, у о).

Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для к-рого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения F(x,y,C) = 0, (6) дифференцируют (6) при постоянном С и получают

[824-24.jpg]

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение наз. общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

Пусть, напр., задано семейство кривых (x-С)3-y= 0. (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С, получают 3(x-С)2-y' = 0, после же исключения С приходят к Д у 27y2-(y)3 = 0, (10) равносильному ур-нию (4). Легко ви-Деть, что, кроме решений (9), ур-ние (10) имеет решение y= 0. (11) Решение уравнения (10) самого общего вида таково:

[824-25.jpg]

где - БЕСКОНЕЧНОСТЬ =[824-26.jpg]

Рис. 7.

Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых 4(y-Сx) + С2 = 0. (12) Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у. 4(у-ху') + (у') = 0.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола x2-y=0 огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

[824-27.jpg]

Рис. 8.

Дифференциальные у р-ния высших порядков и системы дифференциальных у р-ний. Д. у. и-го порядка с одной неизвестной функцией у(х) независимого переменного х записывают так: F(x,y, y', у", ... , y(n-1), yn) = 0.(13) Если ввести дополнительные неизвестные функции
y1 = y', y2 = y",..., yn-1 = yn-1, (14) то уравнение (13) можно заменить системой из п уравнений с п неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к п-1 ур-ниям (14) присоединить ур-ние F(x, у, y1, y2,..., yn-1, yn-1') = 0.

Аналогичным образом сводятся к системам ур-ний 1-го порядка и системы ур-ний высших порядков. В механике сведение систем ур-ний 2-го порядка к системе из удвоенного числа ур-ний 1-го порядка имеет простой механич. смысл. Напр., система трёх ур-ний движения материальной точки тх" = р(х, у, z), my" = Q(x, у, z), mz" = R(x, у, z), где х, у, z - координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе шести ур-ний: ти'=р(х, у, z), mv' = Q(x, у, z), mw' = R(x, у, z), и = х', v = y', w = z' при помощи введения в качестве новых переменных составляющих и, v, w скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в к-рых число ур-ний равно числу неизвестных функций. Система из п ур-ний 1-го порядка с п неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид:
[824-28.jpg]

Решением системы Д. у. (а) наз. система функций xt(t), 2(t),..., xn(t), к-рая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в к-рых правые части не зависят от f. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изучению системы из (и - 1)-го уравнения, к-рую целесообразно записывать в симметричной форме
[824-29.jpg]
не предрешая вопроса о том, от какого из переменных х1, х2, ...,хп мыслятся зависящими остающиеся п - 1 переменных. Считая х = (х1, х2, ..., хп) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного ур-ния:
[824-30.jpg]
что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного ур-ния 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно существования и единственности решения задачи с начальными условиями: если в окрестности точки (t0, х01 , х02 ,..., х0n ) все функции F1 непрерывны по совокупности переменных t, x1, х2, ..., хп и имеют ограниченные производные по переменным x1, x2, ..., хп, то задание начальных значений xi (to) = х0i, i = 1,2,..., п, определяет одно, вполне определённое, решение системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из п уравнений 1-го порядка с п неизвестными функциями зависит от п параметров.

Для приведённых выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. "решённым", если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами C1, С2,...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла ("решение выражено в квадратурах").

Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды. Напр., если правые части ур-ний (а) в окрестности точки (t0, х01 , х02 ,..., х0n ) голоморфны (см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями xi (t), разлагающимися в степенные ряды:
[824-31.jpg]

коэффициенты к-рых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левых и правых частях этих ур-ний.

Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разработана теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см. Линейные дифференциальные уравнения).

Для линейных Д. у. сравнительно просто решаются также вопросы "качественного" поведения интегральных кривых, т. е. их поведение во всей области задания Д. у. Для нелинейных Д. у., где нахождение общего решения особенно сложно, вопросы качеств, теории Д. у. приобретают иногда даже доминирующее значение. После классич. работ А. М. Ляпунова ведущую роль в качеств, теории Д. у. играют работы сов. математиков, механиков и физиков. В связи с этой теорией см. Динамическая система, Особая точка, Устойчивость, Предельный цикл.

Большое значение имеет аналитич. теория Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитич. функций, т. е. интересующаяся, напр., расположением их особых точек в комплексной плоскости и т. п.

Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в к-рой задаются значения искомых функций (а в случае ур-ний старших порядков и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение краевые задачи.

Дифференциальные уравнения с частными производными. Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у. с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров, а нек-рых функций. Напр., общим решением уравнения
[824-32.jpg]

является выражение u(t,x) = f(x + t) + g(x-t), где f и g - произвольные функции. Т. о., Д. у. (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных и(х,у), что её удаётся выразить через две функции f(z) и g(v) от одного переменного, к-рые остаются [если в дополнение к ур-нию (16) не дано к.-л. "начальных" или "краевых" условий] произвольными.

Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка
[824-33.jpg]

где независимыми переменными являются t, x1, ..., хп, a u1, ..., umсуть функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при к.-л. t = to значениям ui(t0,x1,...,хп)-фi(x1,..., хп) i=1, 2,..., т, найти функции т (t, xi, ..., хп).

В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип ур-ния. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х, у) от двух переменных: F(x, у, z, р, q, r, s, t) = 0, (18) где
[824-34.jpg]

то (18) есть эллиптическое у р-ние. Примером может служить ур-ние Лапласа:
[824-35.jpg]

Если D<0, то (18) есть гиперболическое у р-н и е. Примером может служить ур-ние колебания струны:
[824-36.jpg]

Если D = 0, то (18) есть параболическое у р-н и е. Примером может служить ур-ние распространения тепла:

[824-37.jpg]

О краевых задачах для этих различных типов ур-ний см. Уравнения математической физики.

Лит.: Обыкновенные Д. у.Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М., 1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, 2 изд., М., 1965.

Д. у. с частными производными. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Тихонов А.Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М., 1968. По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ", ежемесячный научный математич. журнал, осн. в 1965, издаётся в Минске. Публикует результаты исследований в области дифференциальных, ин-тегро-дифференциальных и интегральных ур-ний, а также ур-ний в конечных разностях. Переводится в США на англ. яз. и изд. под назв. "Differential equations".

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ, уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами могут служить ур-ния
[824-38.jpg]

где постоянные а, т, k заданы; t = t -- (t - t) в ур-нии (1) и t - kt в ур-нии (2) - отклонения аргумента. Такие ур-ния появились в кон. 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геом. задач, а позднее -в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематич. теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел матем. анализа.

Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. со. а.; к таким ур-ниям относится, напр., (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = еpt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое ур-ние вида Р(р) = 0, где Р(р) - сумма членов вида Aрт еaр, m>0- целое [напр., для (1) имеем Р(р) = р - aе-tр]. Это ур-ние имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р(р).

Важнейший и наиболее изученный класс Д. у. с о. а. образуют дифференциальные ур-ния с запаздывающим аргументом, в к-рых старшая производная от искомой функции при к.-л. значении аргумента определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргумента. Примеры: ур-ние (1) при t=>0(t- запаздывание); ур-ние (2) при k=<1 и t=>0. Эти ур-ния и их системы, если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость к-рых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент (как для обычных дифференциальных ур-ний), но и в предшествующие моменты. Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматич. управления при наличии запаздывания в органе управления. Уравнения с запаздывающим аргументом во многом напоминают обыкновенные дифференциальные ур-ния, однако в ряде отношений отличаются от них. Напр., если решение ур-ния (1) строится при t=>t0, то в качестве начального условия х (t) должно быть задано при t0-t=
Лит.: Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1961; Беллман Р., Кук К.,

Дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1967; Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э., Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, "Успехи математических наук", 1967, т. 22, в. 2 (134) (библ.): Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 2 изд., М., 1971. А. Д. Мышкис.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ, биномиальный дифференциал, выражение вида xm(a + bxn)pdx, где а и b - постоянные, отличные от нуля, т, п и р - рациональные числа. Интеграл от Д. 6. ИНТЕГРАЛ хт (а + bn)p dx выражается в конечном виде через элементарные функции лишь в трёх случаях: 1) если р - целое число; 2) если (т +1)/n-целое число; 3) если [(m + 1)/n] + р-целое число. Эти три случая интегрируемости Д. б. были известны ещё Л. Эйлеру. П. Л. Чебышев в 1853 показал, что во всех остальных случаях интеграл от Д. б. в конечном виде через элементарные функции не выражается. Это один из первых случаев, когда вопрос об интегрируемости в конечном виде к.-л. достаточно общего класса аналитич. выражений был решён до конца. Результат Чебышева может быть поставлен в ряд с классич. теоремами о невозможности алгебраич. решения различных классов алгебраич. уравнений и о неразрешимости при помощи циркуля и линейки задачи о квадратуре круга.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МАНОМЕТР, то же, что дифманометр.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЙ, разностный метод, метод измерений, в к-ром определяют разность между измеряемой и известной физическими величинами. Известную величину чаще всего воспроизводят с помощью меры. Если разность между измеряемой и известной величинами мала, то погрешность измерения в основном определяется точностью знания известной величины. Напр., если разность не превышает 0,01 части измеряемой величины, измерение её с погрешностью 0,1% внесёт в общий результат погрешность не более 0,001%. Д. м. и. имеет большое значение при поверке средств измерений - сличении поверяемой меры с образцовой (напр., нормальных элементов при встречно-последовательном их включении), а также при испытаниях материалов и изделий сравнением их с образцами. В области линейных измерений Д. м. и. называют относительным методом. Д. м. и. превращается в нулевой метод измерений, если разность между измеряемой и известной величинами доводят до нуля (для этого известная величина должна быть регулируемой).

К. П. Широков.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕХАНИЗМ, устройство, позволяющее получать результирующее движение как сумму или разность составляющих движений. В Д. м. с одной степенью свободы составляющие движения кинематически связаны и осуществляются одним приводом, а результирующее получается как разность этих движений. Д. м. с одной степенью свободы применяют для получения малых точных перемещений или больших сил (напр., в приборах, металлорежущих станках и т. п.).

В Д. м. с двумя и более степенями свободы составляющие движения независимы и выполняются каждое своим звеном. Известны разные типы таких Д. м., но наибольшее распространение получил Д. м. с коническими зубчатыми колёсами (обычно называемый просто дифференциалом), применяемый в автомобилях и др. транспортных