АСФАЛЬТИРОВАНИЕ, устройство асфальтобетонных покрытий на автомобильных дорогах, улицах, аэродромах и т. п. путём укладки и уплотнения асфальтобетонной смеси по предварительно подготовленному основанию. В зависимости от назначения покрытия асфальтобетонную смесь (асфальтобетон) укладывают в один или два слоя на основание из щебня, гравия (нежёсткое основание) или бетона (жёсткое основание). Нижний слой толщиной 4-5 см устраивают из крупно- или среднезерни-стой смеси с остаточной пористостью 5-10% ; верхний слой толщиной 3-4 см-из средне- или мелкозернистой смеси (остаточная пористость 3-5%). При тяжёлых нагрузках и интенсивном движении транспорта покрытия устраивают 3-4-слойными общей толщиной 12-15 см. АСФАЛЬТИРОВАНИЕ начинается с очистки основания от пыли и грязи механич. дорожными щётками и поливомоечными машинами, исправления неровностей основания, обработки его поверхности жидким битумом или битумной эмульсией. Асфальтобетонная смесь приготовляется в асфальтобетоно-смесителях на стационарных или полустационарных заводах (установках), доставляется на место автомобилями-самосвалами и загружается в приёмный бункер асфалътобетоноукладчика, к-рый укладывает, разравнивает и предварительно уплотняет смесь. Окончат. уплотнение осуществляется катками дорожными. .
КОММУНАЛЬНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО, отрасль строительства, занятая сооружением объектов, связанных с обслуживанием жителей городов, посёлков городского типа, районных сельских центров и населённых пунктов сельской местности. В числе этих объектов: системы водоснабжения и канализации с очистными сооружениями и сетями; сооружения городского электрического транспорта с путевым, энергетическим хозяйством, депо и ремонтными предприятиями; сети газоснабжения и теплоснабжения с распределительными пунктами, районными и квартальными котельными; электрические сети и устройства напряжением ниже 35 кв; гостиницы; городские гидротехнические сооружения; объекты внешнего благоустройства населённых мест, озеленения, дороги, мосты, путепроводы, ливнестоки; предприятия санитарной очистки, мусороперерабатывающие и др. Планомерное развитие КОММУНАЛЬНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА в СССР началось ещё в 1-й пятилетке и осуществлялось нарастающими темпами до начала Великой Отечеств, войны 1941-45. В годы 4-й пятилетки (1946-50) проводились работы по восстановлению объектов коммунального назначения, разрушенных во время нем.-фаш. оккупации. В последующие годы КОММУНАЛЬНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО велось высокими темпами в связи с бурным развитием промышленности, культуры, увеличением численности городов и посёлков городского типа .
ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО, теория и практика планировки и застройки городов (см. Город). ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО определяют социальный строй, уровень развития производственных сил, науки и культуры, природно-климатичие условия и национальные особенности страны. ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО охватывает сложный комплекс социально-экономических, строительно-технических, архитектурно-художественных, а также санитарно-гигиенических проблем. Общим для ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО досоциалистических формаций является большее или меньшее влияние на него частной собственности на землю и недвижимое имущество..
ЗЕЛЁНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО, составная часть современного градостроительства. Городские парки, сады, скверы, бульвары, загородные парки (лесопарки, лугопарки, гидропарки, исторические, этнографические, мемориальные), национальные парки, народные парки, тесно связанные с планировочной структурой города, являются необходимым элементом общегородского ландшафта. Они способствуют образованию благоприятной в санитарно-гигиеническом отношении среды, частично определяют функциональную организацию городских территорий, служат местами массового отдыха трудящихся и содействуют художественной выразительности архитектурых ансамблей. При разработке проектов садов и парков учитывают динамику роста деревьев, состояние и расцветку их крон в зависимости от времени года.
| Шатского и Н. П. Хераскова, а затем для магматич. формаций - в трудах Ю. А. Кузнецова.
В 50-60-х гг. начали составляться тектонич. карты СССР (Н. С. Шатский, 1953, 1956; Т. Н. Спижарский, 1966), Европы (Н. С. Шатский, А. А. Богданов и др., 1964), Евразии (А. Л. Яншин и др., 1966), Африки (Ю. А. Шубер, 1968), Сев. Америки (Ф. Кинг, 1969), а также крупномасштабные тектонич. карты отд. областей и р-нов в целях выяснения гл. закономерностей размещения полезных ископаемых. В СССР положено начало изучению новейших тектонич. движений и созданию неотектоники (В. А. Обручев, Н. Н. Николаев, С. С. Шульц). В связи с разведкой и разработкой полезных ископаемых в осадочных толщах в качестве самостоят, дисциплины выделились петрография осадочных пород, или литология, в развитии к-рой гл. роль принадлежит сов. учёным.
Отдельный уч. курс петрографии осадочных пород впервые был прочтён в Московском ун-те и в Московской горной академии в 1922 М. С. Швецовым, воспитавшим неск. поколений сов. литологов и написавшим классич. работы по литологии каменноугольных отложений Московской синеклизы. В области минералогии осадочных пород интересные исследования проводил в нач. 20-х гг. Я. В. Самойлов. А. Д. Архангельский ещё в 1912 дал первый образец сравнительно-литологич. исследований, восстановив условия образования верхнемеловых отложений Поволжья по аналогии с осадками совр. морей и океанов. После Великой Октябрьской социалистич. революции он детально изучал литологию фосфоритов, бокситов и нефтепроизво-дящих свит. В. П. Батурин разработал метод изучения терригенных минералов с целью восстановления палеогеогр. условий осадконакопления. Л. В. Пустовалов в ряде монографий и двухтомной Петрографии осадочных пород (1940) впервые поставил вопрос об общих закономерностях процесса осадкообразования и его эволюции в истории Земли. Очень много сделал для выяснения различных вопросов осадочного породообразования, установления его стадий и его климатических типов Н. М. Страхов, трёхтомная монография к-рого Основы теории литогенеза опубликована в 1960-62. Специфику осадочного породообразования в до-кембрии изучал А. В. Сидоренко, образование соленосных толщ - М. Г. Валяшко, А. А. Иванов, М. П. Фивегидр. Крупные работы в области петрографии осадочных пород принадлежат также амер. геологам - У. Твенхофелу, Ф. Дж. Петтиджону, У. К. Крумбейну, Дж. Тейлору.
С петрографией осадочных пород тесно связано учение о фациях, получившее наиболее глубокую разработку в трудах Д. В. Наливкина. Разработан ряд новых методов изучения веществ, состава горных пород (спектроскопический, рентгеноструктурный, термометрический анализы). В минералогии была оформлена совр. кристаллохимич. теория конституции минералов (Н. В. Белов, В. С. Соболев и др.), достигнуты успехи в синтезе многих минералов (Д. С. Белянкин, Д. П. Григорьев), большая группа работ посвящена пегматитам (А. Н. Завариц-кий, А. Е. Ферсман), физико-хим. анализу природных ассоциаций минералов (А. Г. Бетехтин, Д. С. Коржинский и др.). Создан ряд трудов по петрографии, петрохимии и учению о метаморфизме (Ф. Ю. Левинсон-Лессинг, Ю. А. Кузнецов, Н. А. Елисеев, Ю. И. Половинкин, П. Эскола, Т. Барт, Н. Боуэн, Г. Кеннеди, П. Ниггли, Ф. Тернер). Большое значение имели углепетрографич. работы, посвящённые изучению метаморфизма углей и закономерностям размещения угольных бассейнов (П. И. Степанов, Ю. А. Жемчужников, В. В. Мокринский, В. И. Яворский, И. И. Горский). Разрабатывалась Г. нефти и газа (И. М. Губкин, С. И. Миронов, А. А. Трофимук, М. Ф. Мирчинк, И. О. Брод, чешек, геолог К. Крейчи-Граф, амер. геологи А. Леворсен и Д. М. Хант). За последние десятилетия выделилась особая отрасль Г.- металлогения (С. С. Смирнов, Ю. А. Билибин, Д. И. Щербаков, К. И. Сатпаев, В. И. Смирнов, X. М. Абдуллаев, И. Г. Магакьян, Е. Т. Шаталов, А. Г. Левицкий,В. А. Кузнецов, швед, геолог В. Линдгрен, нем. геол. Г. Шнейдерхен, амер. геологи Ч.Ф. Парк, У. X. Эммонс и др.). Успешно развивались: вулканология (В. И. Влодавец, Б. И. Пийп, Г. С. Горшков, амер. геологи X. Уильяме, А. Ритман, франц. геолог Г. Тазиев), гидрогеология и гидрогеохимия (Н. Ф. Погребов, Н. Н. Славянов, А. Н. Семихатов, Ф. П. Саваренский, Г. Н. Каменский, Н. И. Толстихин, И. К. Зайцев), Г. четвертичных отложений (Г. Ф. Мирчинк, Я. С. Эдельштейн, С. А. Яковлев, В.И. Громов, А. И. Москвитин, Е. В. Шанцер, нем. учёный П. Вольдштедт, амер. геолог Р. Флинт, швед, геолог Г. Геер).
На стыке Г. и химии в 20 в. обособилась геохимия, принципы к-рой были сформулированы В. И. Вернадским и норв. геохимиком В. М. Гольдшмидтом и развивались в СССР в трудах А. Е. Ферсмана и А. П. Виноградова. Выяснена огромная роль развития жизни на Земле как фактора, приведшего к образованию органогенных пород (коралловые рифы, каменные угли и др.), существенно изменившего состав атмосферы и гидросферы, а также непосредственно влиявшего на ход многих геологич. процессов (напр., выветривания). В связи с этим выделился особый раздел геохимии - биогеохимия, а для оболочки Земли, в к-рой протекают биологич. процессы, В. И. Вернадским было предложено назв. биосферы. На стыке Г. и физики развилась геофизика. Появление и развитие геохимии и геофизики в огромной степени способствовало успехам геол. исследований, в практику к-рых с нач. 20-х гг. прочно вошли геофиз. и геохим. методы.
В последнюю четверть века интенсивно развивается Г. дна морей и океанов (в СССР- М. В. Клёнова, П. Л. Безруков, А. П. Лисицын, Г. Б. Удинцев; за рубежом-амер. геологи Ф. П. Шепард и Г. У. Менард, Б. Хизен, М. Ю. Юинг, голл. геолог П. Кюнен), в частности в целях пром. освоения полезных ископаемых обширных пространств континентального шельфа. В исследованиях Г. морского дна широко применяются геофиз. методы, а в последние годы и бурение со специально оборудованных судов.
На терр. СССР все отрасли Г. получили бурное развитие после Великой Октябрьской социалистич. революции. За годы Сов. власти страна покрыта геол. съёмкой масштаба 1 : 1 000 000, начатой по инициативе и под рук. А. П. Герасимова, а значительные её области-съёмками масштаба 1 : 200 000, тогда как до 1917 геол. карты, при этом значительно менее детальные, были составлены лишь для 10% площади России. В 1922 и 1925 были изданы первые геол. карты Азиатской части СССР, в 1937 - первые геол. карты терр. СССР в целом. Первая геол. карта терр. СССР без белых пятен (неисследованных областей) была издана в 1955 в масштабе 1 : 2 500 000. Третье её издание (Д. В. Наливкин, А. П. Марковский, С. А. Музылев, Е. Т. Шаталов) вышло в 1965. Составлен ряд спец. карт - геоморфологических, четвертичных отложений, палеогеографич., палеотектонич., гидрогеол., гидрогеохим., магматич. формаций, металлогенич., угленакопления, нефтегазоносности и др. Данные о геол. строении СССР обобщены в трудах В. А. Обручева, А. Д. Архангельского, А. Н. Мазаровича, Д. В. Наливкина, а также в многотомных монографиях Геология СССР, Гидрогеология СССР, Стратиграфия СССР и др. В 1951-52 было издано первое в СССР учебное пособие (автор А. Н. Мазарович) по курсу региональной Г. мира, дающее общую характеристику геол. строения всех материков земного шара. Большое значение имело также издание научно-популярной лит-ры по Г. (В. А. Обручев, А. Е. Ферсман, В. А. Варсанофьева и др.).
Работы по планированию и организации геол. исследований в СССР ведутся Министерством геологии СССР и министерствами союзных республик через территориальные геол. управления и геол. учреждения др. министерств, связанных с разработкой минеральных ресурсов и строительством (см. Геологическая служба). Науч. работу по Г. проводят ок. 80 н.-и. институтов и лабораторий Министерства геологии и нек-рых др. министерств, АН СССР и АН союзных республик. В СССР издаётся ряд периодич. научных геологических журналов.
Организация геол. исследований в междунар. масштабе и обсуждение важнейших проблем Г. осуществляется основанным в 1875 Международным геологическим конгрессом (см. Геологический конгресс Международный). В перерывах между сессиями конгресса межнациональными исследованиями руководит с 1967 Международный союз геол. наук (см. Геологических наук союз).
Основные задачи геологии. Поскольку залежи полезных ископаемых на поверхности Земли в основном исчерпаны, одной из главных задач совр. Г. являются поиски и освоение невидимых с поверхности (слепых, или скрытых) месторождений. Поиски их могут производиться лишь с помощью геол. прогнозов, что требует усиленного развития всех направлений Г. Для терр. СССР эта задача сформулирована в директивах 24-го съезда КПСС, где говорится о необходимости ...проведения исследований в области геологии, геофизики и геохимии для выявления закономерностей размещения полезных ископаемых, повышения эффективности методов их поиска, добычи и обогащения... (Директивы XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1971-1975 годы, 1971, с. 14).
Для исследования глубинных зон Земли и их минеральных ресурсов необходимо изучение земной коры и верх, мантии геофиз. методами, изучение метаморфич. и магматич. образований, их состава, строения и условий образования как показателей состояния вещества и его преобразований в глубинных зонах Земли, бурение сверхглубоких скважин и исследование докембрийских толщ с позиций стратиграфии, тектоники, минералогии, петрографии и размещения в них полезных ископаемых.
В связи с увеличением потребности в цветных и редких металлах и необходимостью расширения минерально-сырьевой базы возникла проблема использования ресурсов морей и океанов. Поэтому одной из актуальных задач Г. является изучение Г. дна морей и океанов (71% всей поверхности Земли). В последнее десятилетие начались работы по детальному изучению подземного тепла как возможного энергетич. ресурса будущего. В ряде стран (Исландия, Италия, Япония, Новая Зеландия, в СССР на Камчатке) перегретый пар, выделяющийся из скважин, уже используется для отопления и получения электроэнергии.
Важнейшей задачей Г. является дальнейшая разработка теории развития Земли, в частности исследование эволюции внутренних и внешних геол. процессов, определяющих закономерности распространения минеральных ресурсов.
В связи с успехами космических исследований одной из основных проблем Г. становится сравнительное изучение Земли и др. планет.
Лит.: История и методология науки. Павлов А. П., Очерк истории геологических знаний, [М.], 1921; Xабаков А. В., Очерки по истории геолого-разведочных знаний в России. [Материалы для истории геологии], ч. 1, М., 1950; Тихомиров В. В., Ханн В. Е., Краткий очерк истории геологии, М., 1956; История геолого-географических наук, в. 1 - 3, М., 1959 - 62; Люди русской науки. Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники, кн. 2- Геология. География, М., 1962; Тихомиров В. В., Геология в России первой половины 19 века, ч. 1 - 2, М., 1960 - 1963; Шатский Н. С., История и методология геологической науки, Избр. труды, т. 4, М., 1965; Взаимодействие наук при изучении Земли, М., 1963; Философские вопросы геологических наук, М., 1967; Гордеев Д. И., История геологических наук, ч. 1- От древности до конца 19 в., М., 1967; Развитие наук о Земле в СССР, М., 1967; 50 лет советской геологии, М., 1968.
Общие работы. Ломоносов М. В., О слоях земных и другие работы по геологии, М.- Л., 1949; Соколов Д. И., Руководство к геогнозии, ч. 1, СПБ, 1842; Ляйелль Ч., Основные начала геологии или новейшие изменения земли и ее обитателей, пер. с англ., т. 1 - 2, М., 1866; Неймайр М., История Земли, т. 1 - 2, СПБ, 1903-04; Иностранцев А. А., Геология. Общий курс лекций, 4 изд., т. 1-2, СПБ, 1905 - 12; О г Э., Геология, пер. с франц.. под ред. А. П. Павлова, т. 1, М., 1914; Мушкетов И. В., Мушкетов Д. И., Физическая геология, 4 изд., т. 1, Л.- М., 1935; Карпинский А. П., Собр. соч., т. 1 - 4, М,- Л., 1939 - 49; Варсанофьева В. А., Происхождение и строение Земли, М.- Л., 1945; Архангельский А. Д., Избр. труды, т. 1 - 2, М., 1932 - 54; Бубнов С. Н., Основные проблемы геологии, М., 1960; Шатский Н. С., Избр. труды, т. 1 - 4, М., 1963-65; Штилле Г., Избр. труды, пер. с нем., М., 1964; Жуков М. М.,Славин В. И., Дунаева Н. Н., Основы геологии, М., 1970; Горшков Г. П., Якушова А. Ф., Общая геология, 2 изд., М., 1962; Suess Ed., Das Antlitz der Erde, Bd 1 - 3, Prag - W.- Lpz., 1883 - 1909; Fourmarier P., Principes de geologie, 3 ed., t. 1-2, P., 1949-50; Теrrаiеr Н. e t G., Traite de geologie, v. 1 - 3, P., 1952-56.
Словари. Геологический словарь, т. 1 - 2, М., 1960.
Библиография. Геология в изданиях АН, в. 1. 1728 - 1928, М.- Л., 1938; в. 2. 1929 - 1937, М.- Л., 1941; Геологическая литература СССР. Библиографический ежегодник, М.- Л.. 1956-68; Реферативный журнал. Геология, М., 1954-70.
Ю. А. Косыгин, А. Л. Яншин.
ГЕОЛОГИЯ ВОЕННАЯ, отрасль геологии, изучающая геол. строение местности и гидрогеол. условия, исходя из требований инж. обеспечения боевых действий войск, обоснования размещения различных фортификац. сооружений, аэродромов, воен. дорог и мостов, воен. гидротехнич. и др. сооружений, организации водоснабжения войск, оценки проходимости местности различными родами войск, а также поиска и разведки подземных вод и минеральных строит, материалов.
До 1-й мировой войны 1914-18 изучение геол. строения местности и гидрогеол. условий для воен. целей не носило планомерного характера и к использованию этих данных воен. специалисты прибегали сравнительно редко (напр., при постройке нек-рых крепостей и их обороне). Во время 1-й мировой войны воен.-геол. обслуживание армий приняло широкий и систематич. характер. В англ., амер., герм, и австро-венг. армиях создавались спец. воен.-геол. службы, а в рус., франц. и нек-рых др. армиях к решению геол. вопросов на театрах воен. действий привлекались гражд. геологи и научно-исследоват. учреждения.
В СССР были проведены работы по изучению и обобщению воен.-геол. опыта, полученного в 1-й мировой войне, по обоснованию размещения оборонит, сооружений и производства различных воен.-инж. работ. В 30-х гг. во Франции, Германии, Финляндии и др. странах данные Г. в. использовались при стр-ве оборонит, линий (Мажино, Зигфрида, Маннергейма). В ходе 2-й мировой войны 1939-45 значительно повысились требования к изучению геол. строения местности, широкое распространение получило изготовление спец. геол. и гидрогеол. карт, к-рые широко использовались при организации водных преград, осуществлении манёвра войск и в др. воен. целях. Военно-геол. службы были созданы почти во всех армиях воюющих стран. В послевоен. время Г. в. получила дальнейшее развитие, особенно в связи с появлением ядерного оружия.
Лит.: Военная геология, М.- Л., 1945; Попов В. В., Геология в военно-инженерном деле, М., 1958.
А.К.Сычёв.
"ГЕОЛОГИЯ И ГЕОФИЗИКА", ежемесячный науч. журнал Сиб. отделения АН СССР. Издаётся с 1960 в Новосибирске. Публикует теоретич. и методич. статьи по общим вопросам геологии и геофизики, по геол. и геофиз. изученности терр. Сибири, Д. Востока и сопредельных стран, а также статьи о закономерностях распространения полезных ископаемых. Тираж 2990 экз. (1970). Л. В. Семёнов.
"ГЕОЛОГИЯ НЕФТИ И ГАЗА", ежемесячный научно-технич. журнал Министерств СССР: геологии, нефтяной пром-сти, газовой пром-сти. Основан в 1957 в Москве (в 1957-58 наз. Геология нефти). Освещает вопросы геологии и геофизики нефти и газа; нефтегазопромысловой геологии и геофизики; поисков и разведки нефтяных и газовых месторождений, а также геолого-экономич. вопросы нефти (газа) и общие вопросы нефте- и газодобычи. Тираж до 4500 экз. (1971).
Л. В. Семёнов.
"ГЕОЛОГИЯ РУДНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ", научный журнал АН СССР и Мин-ва геологии СССР. Основан в 1959. Выходит в Москве 6 раз в год. Освещает проблемы металлогении, теории формирования, геологии, минералогии и геохимии рудных месторождений различных генетич. классов, а также методы их исследования. Тираж ок. 2600 экз. (1971).
ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Всесоюзный (ВНИГНИ), научно-исследовательский ин-т Министерства геологии СССР, созданный в 1953 в Москве. Имеет Камский филиал в Перми и Грузинский филиал в Тбилиси, а также комплексные лаборатории в Оренбурге и Душанбе. Основные отделы и секторы: региональные (шесть), генезиса нефти и газа, ресурсов нефти и газа, опробования и испытания скважин, методики поисков и разведки нефтяных и газовых месторождений, экономики гео-логопоисковых и разведочных работ. Науч. проблематика: обоснование главных направлений геологопоисковых и разведочных работ на нефть и газ в СССР, прогнозная оценка нефтегазоносности терр. СССР, анализ состояния ресурсов нефти и газа, закономерности размещения нефтяных и газовых месторождений в Европ. части СССР, Ср. Азии, на Кавказе и Украине, генезис нефти и газа. Результаты исследований публикуются в Трудах (с 1954).
С. П. Максимов.
ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Всесоюзный (ВНИГРИ), научно-исследовательский ин-т Министерства геологии СССР, образованный в 1929 в Ленинграде. Имеет Сахалинское отделение в Охе. Разрабатывает теорию образования углеводородов в природе, исследует закономерности формирования и размещения нефтяных и газовых месторождений и даёт науч. обоснование геологоразведочных работ на нефть и газ в Прибалтике, сев. областях Европ. части СССР, в Сибири, на Дальнем Востоке и в Казахстане. Результаты исследований в виде монографий или отдельных статей публикует в Трудах ВНИГРИ (1945, с 1930 по 1945 - Труды НИГРИ).
Лит.: Дьяков Б. Ф., Голубков И. А., Краткий обзор деятельности ВНИГРИ, Тр. Всесоюзного нефтяного научно-исследовательского геологоразведочного ин-та, 1959, в. 132.
С. Н. Симаков.
ГЕОМАГНЕТИЗМ, см. Земной магнетизм.
ГЕОМАГНИТНЫЕ ПОЛЮСЫ, см. Полюсы геомагнитные.
ГЕОМАГНИТОФОН (от гео. . . и магнитофон), геофон, снабжённый специальной приставкой для регистрации трудноуловимых звуков в подземных горных выработках. Применяется для определения места нахождения горнорабочих, застигнутых аварией в подземных выработках шахт и рудников. С помощью Г. прослушиваются (с одновременной записью на магнитную ленту) сигналы, подаваемые ударами по породе твёрдым предметом. Г. (рис.) позволяет отличать сигналы, подаваемые людьми, от посторонних звуков на расстоянии до 100 м.
ГЕОМЕРИДА (от гео. . . и греч. men's - доля, слой), живой покров, совокупность организмов Земли; см. Биосфера.
ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ МЕСТОРОЖДЕНИЙ, изображение на графиках структурных и качественных особенностей месторождений полезных ископаемых. Г. м. включает изучение, систематизацию и матем. обработку морфологич. особенностей залежей полезных ископаемых, выяснение основных закономерностей и характера размещения полезных и вредных компонентов внутри рудных тел. Г. м. осуществляют по данным разведки и эксплуатации месторождений. К наиболее распространённым графикам относят: гипсометрич. план залежи, отражающий форму, размеры и элементы залегания; план изолиний содержания полезных и вредных компонентов, характеризующих их распределение в залежи; план изолиний линейных запасов полезного ископаемого, по к-рому можно определить его запасы на площади в 1 м2 на любом участке залежи; план изолиний линейных запасов полезных компонентов, позволяющий определить весовое количество соответствующего полезного компонента, приходящееся на площадь в 1 м2; план изомощностей залежи, дающий представление о мощности залежи на любом её участке; план изоглубин, позволяющий судить о глубине залегания того или иного участка залежи. Г. м. входит в науч. дисциплину горная геометрия.
Лит.: Рыжов П. А., Букринский В. А., Горная геометрия, М., 1958; Ушаков И. Н., Горная геометрия, 3 изд., М., 1962; Вилесов Г. И., Ивченко А. Н., Практикум по геометрии недр, Свердловск, 1956.
Н. Г. Жуков.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА, раздел акустики, в к-ром изучаются законы распространения звука на основе представления о звуковых лучах как линиях, вдоль к-рых распространяется звуковая энергия. Г. а.- предельный случай волновой акустики при переходе к бесконечно малой длине волны, поэтому методы Г. а. являются приближёнными и тем точнее отражают действительность, чем меньше длина волны. Осн. задача Г. а. состоит в вычислении траекторий звуковых лучей. Наиболее простой вид лучи имеют в однородной среде, где они представляют собой прямые линии. Уравнения Г. а. имеют в основном такую же форму, как и уравнения геометрической оптики. Для звуковых лучей справедливы те же законы отражения и преломления, что и для световых.
Методами Г. а. пользуются для практич. приложений в самых различных областях акустики. Напр., в архитектурной акустике свойство прямолинейности звуковых лучей даёт возможность весьма просто определять время реверберации. Действие эхолотов и гидролокаторов основано на измерении времени пробега звуковых лучей до отражающего объекта и обратно. Лучевыми представлениями пользуются при расчёте звуковых фокусирующих систем. На основе законов Г. а. удаётся создать приближённую теорию распространения звука в неоднородных средах (напр., в море, в атмосфере). Методы Г. а. имеют ограниченную область применения, т. к. самое понятие луча справедливо только в тех случаях, когда амплитуда и направление волны мало меняются на расстояниях порядка длины волны звука. В частности, для применения Г. а. требуется, чтобы размеры помещений или препятствий на пути звука были много больше длины волны звука. Если характерный для данной задачи размер становится сравнимым с длиной волны, то существенную роль начинает играть дифракция волн, к-рую Г. а. не охватывает.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЗОМЕРИЯ (в органич. химии), явление, заключающееся в существовании соединений, различающихся только расположением заместителей относительно плоскости двойной связи или цикла (см. Изомерия). Г. и. комплексных соединений состоит в различном пространственном расположении лигандов около центрального иона.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, раздел оптики, в к-ром изучаются законы распространения света на основе представлений о световых лучах. Под световым лучом понимают линию, вдоль к-рой распространяется поток световой энергии. Понятие луча не противоречит действительности только в той мере, в какой можно пренебрегать дифракцией света на оптических неоднородностях, а это допустимо только тогда, когда длина световой волны много меньше размеров неоднородностей. Законы Г. о. позволяют создать упрощённую, но в большинстве случаев достаточно точную теорию оптических систем. Г. о. в основном объясняет образование изображений оптических, даёт возможность вычислять аберрации оптических систем и разрабатывать методы их исправления, вывести энергетич. соотношения в световых пучках, проходящих через оптич. системы. Вместе с тем все волновые явления, в т. ч. дифракционные, влияющие на качество изображений и определяющие разрешающую способность оптич. приборов, не рассматриваются в Г. о.
Представление о световых лучах возникло ещё в античной науке. Евклид, обобщив достижения своих предшественников, сформулировал закон прямолинейного распространения света и закон отражения света. В 17 в. в связи с изобретением ряда оптич. приборов (зрительная труба, лупа, телескоп, микроскоп и т. д.) и началом их широкого использования Г. о. бурно развивалась. Большая роль в этом развитии принадлежит И. Кеплеру, Р. Декарту и В. Снеллю, открывшему Снелля закон преломления света. Построение теоретич. основ Г. о. к сер. 17 в. было завершено установлением Ферма принципа, утверждающего, что луч света, вышедший из одной точки и проходящий через несколько сред с произвольными границами и меняющимся показателем преломления, попадает в другую точку за минимальное (точнее, за экстремальное) время. Для однородной среды принцип ферма сводится просто к закону прямолинейного распространения света. Законы преломления и отражения, исторически открытые ранее, также являются следствиями этого принципа, к-рый сыграл значит, роль в развитии и др. разделов физич.теории. С 18 в. Г. о., совершенствуя методы расчёта оптич. систем, развивалась как прикладная наука. После создания электродинамики классической было показано, что формулы Г. о. могут быть получены из уравнений Максвелла в качестве предельного случая, соответствующего переходу к исчезающе малой длине волны.
Г. о. является примером теории, позволившей при малом числе фундаментальных понятий и законов (представление о лучах света, законы отражения и преломления) получать много практически важных результатов. В теории оптич. устройств она сохранила большое значение до наст, времени. См. также Кардинальные точки, Линза, Эйконал.
Лит.: Ландсберг Г. С., Оптика, 4 изд., М., 1957 (Общий курс физики, т. 3).
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел (a1, а2,...,аn,..), из к-рых каждое равно предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число q (знаменатель Г. п.); напр. 2, 8, 32, .... q = 4. Если q > 1(q <1), то Г. п.- возрастающая (убывающая); при q<0 Г. п.- знакочередующаяся. Любой член Г. п. (аn) вычисляется по формуле: an = a1 qn-1', сумма (Sn) первых n членов Г. п.- по формуле:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ, решение нек-рых геом. задач при помощи вспомогат. инструментов (линейка, циркуль и т. п.), к-рые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях по Г. п. выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Г. п. обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отд. задачи на Г. п. на плоскости рассматривались ещё в древности (напр., знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на Г. п. с помощью циркуля и линейки. Г. п. на плоскости имеют богатую историю. Теория этих построений разработана датским геометром Г. Мором (1672) и затем итальянским инженером Л. Маскерони (1797). Значит, вклад в теорию Г. п. был сделан швейцарским учёным Я. Штейнером (1833). Лишь в 19 в. был выяснен круг задач, разрешимых с помощью указанных инструментов. В частности, отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки.
Г. п. на плоскости Лобачевского занимался сам Н. И. Лобачевский. Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром Д. Д. Мордухай-Болтовским.
Г. п. в пространстве связаны с методами начертат. геометрии. Теория Г. п. представляет интерес лишь в части, связанной с практич. приложениями в начертат. геометрии.
Лит.: Адлер А., Теория геометрических построений, пер. с нем., 3 изд.. Л.. 1940; Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений, М., 1938; Штейнер Я., Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга, пер. с нем., М., 1939; Александров И. И., Сборник геометрических задач на построение с решениями. 18 изд., М., 1950.
Э. Г. Позняк.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, взаимно однозначные отображения прямой, плоскости или пространства на себя. Обычно рассматривают такие совокупности Г. п., что каждую конечную последовательность преобразований совокупности можно заменить одним преобразованием этой совокупности, а преобразование, обратное любому из рассматриваемых, также принадлежит данной совокупности. Такие совокупности Г. п. образуют т. н. группу преобразований. Примерами Г. п., образующих группу преобразований, могут служить движения плоскости (или пространства), аффинные преобразования, проективные преобразования.
Лит.: Моденов П. С., Пархоменко А. С., Геометрические преобразования, М., 1961.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СТИЛЬ в иcскусстве, одна из ранних стадий развития древнегреческого иск-ва (9- 8 вв. до н. э.). Высокого мастерства в иск-ве Г. с. достигла вазопись. Декор вазГ. с., ясный и конструктивный, состоит из полос меандра, крестов, окружностей и т. д. В период развитого стиля (дипилонские вазы, 8 в. до н. э.) он включает также наивные, сильно геометризованные изображения человека. Сходный характер носят мелкая скульптура и рельефы на ювелирных украшениях.
Лит.: М a t z Fr., Geschicnte der griechischen Kunst, Bd 1. Die geometrische und die fruharchaische Form. Textband, Fr./M., [1950].
Геометрический стиль. 1. Кратер с о. Кипр. 2-я четв. 8 в. до н. э. Метрополитен-музей. Нью-Йорк. 2. Скифос из Камироса (о. Родос). Ок. 700 до н. э. Британский музей. Лондон. 3. Щит из Черветери (Италия). Бронза. 7 в. до н. э. Ватиканские музеи.
Воин, Бронзовая статуэтка. 2-я пол. 8 в. до н. э. Национальный археологический музей. Афины.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ, число a*, равное корню п-й степени из произведения п данных положительных чисел (a1, а2, ..., аn):
Г. с. двух чисел а и b, равное у ab, наз. также средним пропорциональным между а и b.
ГЕОМЕТРИЯ (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре.
Происхождение термина Г.*, что буквально означает землемерие, можно объяснить следующими словами, приписываемыми др.-греч. учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы. Уже у древних греков Г. означала матем. науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегип. сочинений, Г. развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строит, работах и т. п.
Первоначальные понятия Г. возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении между, внутри и т. п. Вторые выражаются в понятиях больше, меньше, в понятии о равенстве тел.
Путём такого же отвлечения возникает понятие геом. тела. Геом. тело есть абстракция, в к-рой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом Г., как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, напр., в определениях, данных Евклидом: линия есть длина без ширины, поверхность есть то, что имеет длину и ширину. Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геом. фигуре, под к-рой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.
Г. в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении п размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением Г. как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в Г., и есть пространственная форма; поэтому в Г. говорят, напр., шар, а не тело шарообразной формы; расположение и размеры определяются пространств, отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в Г., также есть нек-рое отношение между двумя фигурами - данной и той, в к-рую она преобразуется.
В современном, более общем смысле, Г. объемлет разнообразные матем. теории, принадлежность к-рых к Г. определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе Г. в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Г. в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными. См. разделы Обобщение предмета геометрии и Современная геометрия.
Развитие геометрии. В развитии Г. можно указать четыре основных периода, переходы между к-рыми обозначали качественное изменение Г.
Первый - период зарождения Г. как матем. науки - протекал в Др. Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геом. сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае - зависимостей между геом. величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Г., дошло до нас из Др. Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое. Геом. сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению нек-рых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирич. происхождения, логические же доказательства были, вероятно, ещё очень примитивными. Г., по свидетельству греч. историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геом. знаний, выяснения связей между разными геом. фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геом. предложении и о доказательстве.
Этот процесс привёл, наконец, к качеств, скачку. Г. превратилась в самостоятельную матем. науку; появились систематич. её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Г. Известны упоминания систематич. изложения Г., среди к-рых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же п сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся ок. 300 до н. э. Начала Евклида. З.чесь Г. представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией: это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логич. последовательности, исходя из явно формулированных осн. положений - аксиом и осн. пространственных представлений. Г., развиваемую на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащённую как в предмете, так и в методах исследования, наз. евклидовой геометрией. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, Зв. до н. э.), учение о копич. сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. дон. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и Г. на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упадок антич. общества привёл к сравнительному застою в развитии Г., однако она продолжала развиваться в Индии, в Ср. Азии, в странах араб. Востока.
Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Г. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом, к-рый ввёл в Г. метод координат. Метод координат позволил связать Г. с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Г. породило аналитическую Г., а потом и дифференциальную. Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития Г. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебр, уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию дифференциальная Г. придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. в разделе Современная геометрия). Её назв. связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й пол. 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, к-рые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончат, оформление и систематич. изложение этих новых направлений Г. были даны в 18 - нач. 19 вв. Эйлером для анали-тич. Г. (1748), Монжем для дифференциальной Г. (179л). Ж. Понселе для проективной Г. (1822), причём само учение о геом. изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) Г. оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.
Четвёртый период в развитии Г. открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой Г., называемой теперь Лобачевского геометрией. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же Г. построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной. Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые. Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Г. приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову Г. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую Г., логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Г. как возможную теорию пространств, отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование (см. раздел Истолкования геометрии).
Переворот в Г., произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван Коперником геометрии. В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Г. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова Г., но и другие геометрии. Второй принцип - это принцип самого построения новых геом. теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой Г. Третий принцип состоит в том, что истинность геом. теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физич. исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой Г. Совр. физика подтвердила это. Однако от этого не теряется матем. точность евклидовой Г., т. к. она определяется логич. состоятельностью (непротиворечивостью) этой Г. Точно так же в отношении любой геом. теории нужно различать их физ. и матем. истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая - в логич. непротиворечивости. Лобачевский дал, т.о., материалистич. установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в Г., но и в математике вообще, в развитии её аксиоматич. метода, в понимании её отношения к действительности.
Главная особенность нового периода в истории Г., начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геом. теорий - новых геометрий и в соответствующем обобщении предмета Г.; возникает понятие о разного рода пространствах (термин пространство имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой - абстрактное математическое пространство). При этом одни теории складывались внутри евклидовой Г. в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная Г. и др., предметом к-рых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова Г. стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Г. Др. теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой Г. Так, создавалась, напр., многомерная Г.; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной анали-тич. Г. с трёх координат на п. Нек-рый итог развития всех этих новых геометрий подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.
Принципиальный шаг был сделан Б. Риманом (лекция 1854, опубл. 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Г., т. н. риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др.
В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, к-рые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и к-рые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину.
Так Г. превратилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность матем. теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т. д.) и фигуры в этих пространствах.
Одновременно с развитием новых геом. теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой Г.- элементарной, аналитической и дифференциальной Г. Вместе с тем в евклидовой Г. появились новые направления. Предмет Г. расширился и в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и Г. возникла в 70-х гг. 19 в. общая теория точечных множеств, к-рая, однако, уже не причисляется к Г., а составляет особую дисциплину (см. Множеств теория). Фигура стала определяться в Г. как множество точек. Развитие Г. было тесно связано с глубоким анализом тех свойств пространства, к-рые лежат в основе евклидовой Г. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой евклидовой Г. Эта работа привела в кон. 19 в. (Д. Гильберт и др.) к точной формулировке аксиом евклидовой Г., а также других геометрий.
Обобщение предмета геометрии. Возможность обобщения и видоизменения геом. понятий легче всего уяснить на примере. Так, на поверхности шара можно соединять точки кратчайшими линиями - дугами больших кругов, можно измерять углы и площади, строить различные фигуры. Их изучение составляет предмет Г. на сфере, подобно тому, как планиметрия есть Г. на плоскости; Г. на земной поверхности близка к Г. на сфере. Законы Г. на сфере отличны от законов планиметрии; так, напр., длина окружности здесь не пропорциональна радиусу, а растёт медленнее и достигает максимума для экватора; сумма углов треугольника на сфере непостоянна и всегда больше двух прямых. Аналогично можно на любой поверхности проводить линии, измерять их длины, углы между ними, определять ограниченные ими площади. Развиваемая так Г. на поверхности называется её внутренней Г. (К. Гаусс, 1827). На неравномерно изогнутой поверхности соотношения длин и углов будут различными в разных местах, следовательно, она будет геометрически неоднородной, в отличие от плоскости и сферы. Возможность получения разных геом. соотношений наводит на мысль, что свойства реального пространства могут лишь приближённо описываться обычной Г. Эта идея, впервые высказанная Лобачевским, нашла подтверждение в общей теории относительности. Более широкая возможность обобщения понятий Г. выясняется из следующего рассуждения. Обычное реальное пространство понимают в Г. как непрерывную совокупность точек, т. е. всех возможных предельно точно определённых местоположений предельно малого тела. Аналогично непрерывную совокупность возможных состояний к.-л. материальной системы, непрерывную совокупность к.-л. однородных явлений можно трактовать как своего рода пространство. Вот один из примеров. Опыт показывает, что нормальное человеческое зрение трёхцветно, т. е. всякое цветовое ощущение Ц есть комбинация - сумма трёх основных ощущений: красного К, зелёного 3 и синего С, с определёнными интенсивностями. Обозначая эти интенсивности в нек-рых единицах через х, у, z, можно написать Ц = х К + yЗ+zC. Подобно тому, как точку можно двигать в пространстве вверх и вниз, вправо и влево, вперёд и назад, так и ощущение цвета Ц может непрерывно меняться в трёх направлениях с изменением составляющих его частей - красного, зелёного и синего. По аналогии можно сказать, что совокупность всех цветов есть трёхмерное пространство - пространство цветов. Непрерывное изменение цвета можно изображать как линию в этом пространстве. Далее, если даны два цвета, напр, красный К и белый Б, то, смешивая их в разных пропорциях, получают непрерывную последовательность цветов, которую можно назвать прямолинейным отрезком КБ. Представление о том, что розовый цвет Р лежит между красным и белым и что более густой розовый лежит ближе к красному, не требует разъяснения. Т. о., возникают понятия о простейших пространственных формах (линия, отрезок) и отношениях (между, ближе) в пространстве цветов. Далее, можно ввести точное определение расстояния (напр., по числу порогов различения, к-рое можно проложить между двумя цветами), определить поверхности и области цветов, подобно обычным поверхностям и геом. телам, и т. д. Так возникает учение о пространстве цветов, к-рое путём обобщения геом. понятий отражает реальные свойства цветного зрения человека (см. Колориметрия).
Другой пример. Состояние газа, находящегося в цилиндре под поршнем, определяется давлением и темп-рой. Совокупность всех возможных состояний газа можно представлять поэтому как двумерное пространство. Точками этого пространства служат состояния газа; точки различаются двумя координатами - давлением и темп-рой, подобно тому как точки на плоскости различаются значениями их координат. Непрерывное изменение состояния изображается линией в этом пространстве.
Далее, можно представить себе любую материальную систему - механическую или физико-химическую. Совокупность всех возможных состояний этой системы называют фазовым пространством. Точками этого пространства являются сами состояния. Если состояние системы определяется п величинами, то говорят, что система имеет п степеней свободы. Эти величины играют роль координат точки-состояния, как в примере с газом роль координат играли давление и темп-ра. В соответствии с этим такое фазовое пространство системы наз. к-мерным. Изменение состояния изображается линией в этом пространстве; отд. области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства, а границы областей будут поверхностями в этом пространстве. Если система имеет только две степени свободы, то её состояния можно изображать точками на плоскости. Так, состояние газа с давлением р и темп-рой Т изобразится точкой с координатами р и Т, а процессы, происходящие с газом, изобразятся линиями на плоскости. Этот метод графич. изображения общеизвестен и постоянно используется в физике и технике для наглядного представления процессов и их закономерностей. Но если число степеней свободы больше 3, то простое графическое изображение (даже в пространстве) становится невозможным. Тогда, чтобы сохранить полезные геом. аналогии, прибегают к представлению об абстрактном фазовом пространстве. Так, наглядные графич. методы перерастают в это абстрактное представление. Метод фазовых пространств широко применяется в механике, теоретич. физике и физ. химии. В механике движение механич. системы изображают движением точки в её фазовом пространстве. В физ. химии особенно важно рассматривать форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы из неск. веществ, к-рые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, суть поверхности переходов от одного качества к другому (плавление, кристаллизация и т. п.). В самой Г. также рассматривают абстрактные пространства, точками к-рых служат фигуры; так определяют пространства кругов, сфер, прямых и т. п. В механике и теории относительности вводят также абстрактное четырёхмерное пространство, присоединяя к трём пространственным координатам время в качестве четвёртой координаты. Это означает, что события нужно различать не только по положению в пространстве, но и во времени.
Т. о., становится понятным, как непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщённое понятие пространства. В таком пространстве можно проводить линии, изображающие непрерывные последовательности явлений (состояний), проводить поверхности и определять подходящим образом расстояния между точками, давая тем самым количеств, выражение физ. понятия о степени различия соответствующих явлений (состояний), и т. п. Так по аналогии с обычной Г. возникает геометрия абстрактного пространства; последнее может даже мало походить на обычное пространство, будучи, напр., неоднородным по своим геом. свойствам и конечным, подобно неравномерно искривлённой замкнутой поверхности.
Предметом Г. в обобщённом смысле оказываются не только пространств, формы и отношения, но любые формы и отношения, к-рые, будучи взяты в отвлечении от своего содержания, оказываются сходными с обычными пространств, формами и отношениями. Эти пространственно-подобные формы действительности называют пространствами и фигурами. Пространство в этом смысле есть непрерывная совокупность однородных объектов, явлений, состояний, к-рые играют роль точек пространства, причём в этой совокупности имеются отношения, сходные с обычными пространств, отношениями, как, напр., расстояние между точками, равенство фигур и т. п. (фигура - вообще часть пространства). Г. рассматривает эти формы действительности в отвлечении от конкретного содержания, изучение же конкретных форм и отношений в связи с их качественно своеобразным содержанием составляет предмет других наук, а Г. служит для них методом. Примером может служить любое приложение абстрактной Г., хотя бы указанное выше применение n-мерного пространства в физ. химии. Для Г. характерен такой подход к объекту, к-рый состоит в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геом. понятий и наглядных представлений. Именно это и делается в приведённых выше примерах пространства цветов и др. Этот геом. подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Но часто одни и те же реальные факты можно изображать аналитически или геометрически, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.
Не следует, однако, представлять развитие Г. так, что она лишь регистрирует и описывает на геом. языке уже встретившиеся на практике формы и отношения, подобные пространственным. В действительности Г. определяет широкие классы новых пространств и фигур в них, исходя из анализа и обобщения данных наглядной Г. и уже сложившихся геом. теорий. При абстрактном определении эти пространства и фигуры выступают как возможные формы действительности. Они, стало быть, не являются чисто умозрительными конструкциями, а должны служить, в конечном счёте, средством исследования и описания реальных фактов. Лобачевский, создавая свою Г., считал её возможной теорией пространств, отношений. И так же как его Г. получила обоснование в смысле её логич. состоятельности и применимости к явлениям природы, так и всякая абстрактная геом. теория проходит такую же двойную проверку. Для проверки логич. состоятельности существенное значение имеет метод построения матем. моделей новых пространств. Однако окончательно укореняются в науке только те абстрактные понятия, к-рьге оправданы и построением искусств, модели, и применениями, если не прямо в естествознании и технике, то хотя бы в др. матем. теориях, через к-рые эти понятия так или иначе связываются с действительностью. Лёгкость, с к-рой математики и физики оперируют теперь разными пространствами, достигнута в результате долгого развития Г. в тесной связи с развитием математики в целом и других точных наук. Именно вследствие этого развития сложилась и приобрела большое значение вторая сторона Г., указанная в общем определении, данном в начале статьи: включение в Г. исследования форм и отношений, сходных с формами и отношениями в обычном пространстве.
В качестве примера абстрактной геом. теории можно рассмотреть Г. к-мерного евклидова пространства. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной Г., причём для этого имеется неск. возможностей: можно, напр., обобщать аксиомы обычной Г., но можно исходить и из задания точек координатами. При втором подходе n-мерное пространство определяют как множество к.-л. элементов-точек, задаваемых (каждая) п числами x1, x2,..., хn, расположенными в определённом порядке,- координатами точек. Далее, расстояние между точками X= (х1, х2,..., хn) и Х'= (х'1, х'2,..., х'n) определяется формулой:
что является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трёхмерном пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, к-рое не изменяет расстояний между её точками. Тогда предмет и-мерной Г. определяется как исследование тех свойств фигур, к-рые не меняются при движениях. На этой основе легко вводятся понятия о прямой, о плоскостях различного числа измерений от двух до п - 1, о шаре и т. д. Т. о. складывается богатая содержанием теория, во многом аналогичная обычной евклидовой Г., но во многом и отличная от неё. Нередко бывает, что результаты, полученные для трёхмерного пространства, легко переносятся с соответствующими изменениями на пространство любого числа, измерений. Напр., теорема о том, что среди всех тел одинакового объёма наименьшую площадь поверхности имеет шар, читается дословно так же в пространстве любого числа измерений [нужно лишь иметь в виду n-мерный объём, (п-1)-мерную площадь и n-мерный шар, к-рые определяются вполне аналогично соответствующим понятиям обычной Г.]. Далее, в n-мерном пространстве объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды - такому произведению, делённому на п. Такие примеры можно продолжить. С др. стороны, в многомерных пространствах обнаруживаются также качественно новые факты.
Истолкования геометрии. Одна и та же геом. теория допускает разные приложения, разные истолкования (осуществления, модели, или интерпретации). Всякое приложение теории и есть не что иное, как осуществление нек-рых её выводов в соответствующей области явлений.
Возможность разных осуществлений является общим свойством всякой матем. теории. Так, арифметич. соотношения реализуются на самых различных наборах предметов; одно и то же ур-ние описывает часто совсем разные явления. Математика рассматривает лишь форму явления, отвлекаясь от содержания, а с точки зрения формы многие качественно различные явления оказываются часто сходными. Разнообразие приложений математики и, в частности, Г. обеспечивается именно её абстрактным характером. Считают, что нек-рая система объектов (область явлений) даёт осуществление теории, если отношения в этой области объектов могут быть описаны на языке теории так, что каждое утверждение теории выражает тот или иной факт, имеющий место в рассматриваемой области. В частности, если теория строится на основе нек-рой системы аксиом, то истолкование этой теории состоит в таком сопоставлении её понятий с нек-рыми объектами и их отношениями, при к-ром аксиомы оказываются выполненными для этих объектов.
Евклидова Г. возникла как отражение фактов действительности. Её обычная интерпретация, в к-рой прямыми считаются натянутые нити, движением - механич. перемещение и т. д., предшествует Г. как матем. теории. Вопрос о других интерпретациях не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное понимание геометрии. Лобачевский создал неевклидову Г. как возможную геометрию, и тогда возник вопрос о её реальном истолковании. Эта задача была решена в 1868 Э. Белътрами, к-рый заметил, что геометрия Лобачевского совпадает с внутр. Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы геометрии Лобачевского описывают геом. факты на таких поверхностях (при этом роль прямых выполняют геодезич. линии, а роль движений - изгибания поверхности на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект евклидовой Г., оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, т. к. противоречие в ней в силу указанного истолкования влекло бы противоречие в геометрии Евклида.
Т. о., выясняется двоякое значение истолкования геом. теории - физическое и математическое. Если речь идёт об истолковании на конкретных объектах, то получается опытное доказательство истинности теории (конечно, с соответствующей точностью); если же сами объекты имеют абстрактный характер (как геом. поверхность в рамках геометрии Евклида), то теория связывается с другой матем. теорией, в данном случае с евклидовой Г., а через неё с суммированными в ней опытными данными. Такое истолкование одной матем. теории посредством другой стало матем. методом обоснования новых теорий, приёмом доказательства их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало бы противоречие в той теории, в к-рой она интерпретируется. Но теория, посредством к-рой производится истолкование, в свою очередь, нуждается в обосновании. Поэтому указанный матем. метод не снимает того, что окончательным критерием истины для матем. теорий остаётся практика. В наст, время геом. теории чаще всего истолковываю аналитически; напр., точки на плоскости Лобачевского можно связывать с парами чисел х и у, прямые-определять ур-ния-ми и т. п. Этот приём даёт обоснование теории потому, что сам матем. анализ обоснован, в конечном счёте, огромной практикой его применения.
Современная геометрия. Принятое в совр. математике формально-матем. определение понятий пространства и фигуры исходит из понятия множества (см. Множеств теория). Пространство определяется как множество к.-л. элементов (точек) с условием, что в этом множестве установлены нек-рые отношения, сходные с обычными пространств, отношениями. Множество цветов, множество состояний физ. системы, множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1], и т. п. образуют пространства, где . точками будут цвета, состояния, функции. Точнее, эти множества понимаются как пространства, если в них фиксируются только соответствующие отношения, напр, расстояние между точками, и те свойства и отношения, к-рые через них определяются. Так, расстояние между функциями можно определить как максимум абс. величины их разности: max\f(x)-q(х)\. Фигура определяется как произвольное множество точек в данном пространстве. (Иногда пространство - это система из множеств элементов. Напр., в проективной Г. принято рассматривать точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геом. объекты, связанные отношениями соединения.)
Основные типы отношений, к-рые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию пространств совр. Г., следующие:
1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в множестве не определяется ещё никакой геометрии, оно не становится пространством. Однако, если выделены нек-рые спец. фигуры (множества точек), то геометрия пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной Г.; здесь специальными множествами служат прямые и плоскости.
Тот же принцип выделения нек-рых спец. множеств позволяет определить понятие топологич. пространства - пространства, в к-ром в качестве спец. множеств выделены окрестности точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; наложение на окрестности дальнейших требований определяет тот или иной тип топологич. пространств). Если всякая окрестность заданной точки имеет общие точки с нек-рым множеством, то такая точка наз. точкой прикосновения этого множества. Два множества можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точки прикосновения другого; пространство или фигура будет непрерывной, или, как говорят, связной, если её нельзя разбить на две несоприкасающиеся части; преобразование непрерывно, если оно не нарушает соприкосновений. Т. о., понятие топологич. пространства служит для матем. выражения понятия непрерывности. [Топологич. пространство можно определить также другими спец. множествами (замкнутыми, открытыми) или непосредственно отношением прикосновения, при к-ром любому множеству точек ставятся в соответствие его точки прикосновения.] Топология, пространства как таковые, множества в них и их преобразования служат предметом топологии. Предмет собственно Г. (в значительной её части) составляет исследование топологич. пространств и фигур в них, наделённых ещё дополнит, свойствами.
2) Второй важнейший принцип определения тех или иных пространств и их исследования представляет введение координат. Многообразием называется такое (связное) топологич. пространство, в окрестности каждой точки к-рого можно ввести координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с системами из п действительных чисел x1, x2, ..., xn. Число п есть число измерений многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геом. теорий, являются многообразиями; простейшие геом. фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, и т.п.) обычно - куски многообразий. Если среди всех систем координат, к-рые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитич. функциями, то получают т. н. гладкое (аналитическое) многообразие. Это понятие обобщает наглядное представление о гладкой поверхности. Гладкие многообразия как таковые составляют предмет т. н. дифференциальной топологии. В собственно Г. они наделяются дополнит, свойствами. Координаты с принятым условием дифференцируемоcти их преобразований дают почву для широкого применения аналитич. методов - дифференциального и интегрального исчисления, а такж |
